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函数F(x)=u(x,y)+iv(x,y)的共轭调和函数是?

共轭调和函数是解析函数的虚部,v(x,y)

并不是,需要有共轭性,即这两个调和函数需要满足Cauchy-Riemann方程 显然的反例有x,-y均是调和函数,z=x+iy,则x-iy不是解析函数。

u'x=1,u''xx=0,u'y=-2,u''yy=0,因此u''xx+u''yy=0,即u满足拉普拉斯方程,因此u是调和函数,同理v'x=1+y,v''xx=0,v'y=x+1,v''yy=0,即v''xx+v''yy=0,v也是调和函数。但是根据柯西黎曼方程,u'x=v'y,u'y=-v'x,有1=x+1,2=1+y,即x=0,y=1,因...

设f(z)=u+iv为解析函数,则由Cauchy-Riemann方程知 ∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y; ∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y。 v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C,C为常数。 f(z)=u+iv =x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C) =(1-i/2)(x^2+2i...

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数. f(i)=-1+i, f(z)=z-1=x-1+yi (x-1)对x偏导数=1 =y对y偏导数; y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数

可能你只是忘了还可以用z的共轭,为了输入方便,写成z*(但这不是通用记号)。 现在z=x+iy,z*=x-iy, 所以x=(z+ z*)/2,y=(z-z*)/(2i),带回去,如果v积对了的话(再加上区域单连通),结果应该是不带z*的。

ux+vx=3x²+6xy-3y²-2 uy+vy=3x²-6xy-3y²-2 ∵vx=-uy,vy=ux 所以, ux-uy=3x²+6xy-3y²-2 uy+ux=3x²-6xy-3y²-2 ∴ux=3x²-3y²-2 uy=-6xy ∴u=x³-3xy²-2x+C ∴v=3x²y-y³-2y-C f...

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1 au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1 由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y) 所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f'(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1 所以f'(y)=-1,...

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