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设矩阵A和B满足AB=A+B,证明 若A和B都可逆,则A%&#...

AB-A-B=0AB-A-B+E=E(A-E)(B-E)=E因此,A-E和B-E互为逆矩阵因为A-E可逆,则A可逆(这个你可以使用反证法推出),类似地,B也可逆第二个证明,AB=A+B你先左乘以A(-1),然后化简之后,再右乘B(-1),就会得到A-+B-=E

由(A^-1)+(B^-1)=(A^-1)*(A+B)*(B^-1)得((A^-1)+(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=((A^-1)*(A+B)(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=I.(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)+(B^-1))=(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)*(A+B)*(B^-1))=I.故(A^-1)+(B^-1)

A'+B'=A'(A+B)B'=B'(A+B)A',所以A'+B'可逆,其逆矩阵是A'(A+B)B'的逆矩阵B(A+B)'A,或者B'(A+B)A'的逆矩阵A(A+B)'B.所以A'+B'的逆矩阵是B(A+B)'A,也可以写作A(A+B)'B.

设A和B都是n阶矩阵. 证明,若AB可逆,则A和B都可逆. 悬赏: 0 答案豆 提问人: 匿名网友 您可能感兴趣的试题 设A和B都是n阶矩阵,证明,若AB=I,则A和B互为逆矩阵. 证明,一个n阶矩阵A的秩不大

A+B=AB,所以(A-E)(B-E)=E,E是单位矩阵 所以,A-E与B-E互为逆矩阵

1.因为 A+B=AB所以 (A-E)(B-E) = AB-A-B+E = E所以 A-E 可逆,且 (A-E)^-1 = B-E.2.题目不完整

显然是错的,比如A=B=0

AB=A+BAB-A-B=0AB-A-B+I=I(A-I)(B-I)=I所以,A-I 可逆,其逆矩阵是 B-I

问题:设a b为n阶方阵,若ab=a+b,证明:a-e可逆,且ab=ba.证:首先由ab=a+b得: ab-a-b+e=e 则(a-e)(b-e)=e, 从而a-e可逆 再由(a-e)(b-e)=e=(b-e)(a-e), 知ab=ba

因为A,B是n阶可逆矩阵,且A,B满足AB=A+B.两边取行列式,显然有|A+B|=|AB|=|A||B|,所以①成立.又AB=A+B,移项,提公因子得AB-A=A(B-E)=B,A(B-E)=B-E+E,(A-E)(B-E)=E.故A-E,B-E都是可逆阵,且互为逆矩阵,从而知方程组(A-E)X=0只有零解,所以③正确.④B-E不可逆是错误的,又因(A-E)(B-E)=E,故(B-E)(A-E)=E,从而有BA-A-B+E=E,BA=A+B,得AB=BA,从而有②(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1成立.故①、②、③是正确的,故选:C.

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